[회로이론] 병렬 RLC 회로 유도와 예제풀이

병렬 RLC 회로는 KCL을 적용하고 축전기의 전압을 알 수 있다는 점이 직렬과 다른 점입니다. 하지만 미분방정식의 풀이는 완벽히 같습니다. 그래서 예제를 푸는 방식은 직렬이나 병렬이나 거의 비슷한 순서로 풀이를 전개하게 됩니다. 하지만 이계 미분방정식이기 때문에 미분된 값을 다루다 보니 계산실수가 많이 나올 수 있어 많은 예제풀이가 필요합니다.

 

목차

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1. 병렬 RLC 회로 v(t) 구하기

2. 병렬 RLC 회로 문제풀이법

3. 예제 풀이

 

 

1. 병렬 RLC 회로 v(t) 구하기

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위 회로에 KCL을 적용하면

$${v\over R}+{1\over L}\int^0_{-\infty} v(\tau) d\tau+C {dv\over dt}=0\dots1번$$

위 식을 통해서 축전기에 걸리는 전압 v의 변화율의 초기값을 알 수 있습니다.

$${dv(0)\over dt}=-{(V_0+RI_0)\over RC}$$

1 번식을 v에 대해 미분 후 정리하면

$${1\over R}{dv\over dt}+{v\over L}+C {d^2v\over dt^2}=0$$

정리하면

$${d^2v\over dt^2}+{1\over RC}{dv\over dt}+{1\over LC} v=0\dots2번$$

상수로만 이루어진 Homogenous Linear ODE이므로 해의 기본꼴은 $i=Ae^{st}$이 됩니다.

2 번식에 $i=Ae^{st}$을 대입하고 정리하면

$$Ae^{st}(s^2+ {1\over RC} s+{1\over LC})=0$$

$Ae^{st}$은 0이 아니므로 

$$s^2+ {1\over RC} s+{1\over LC}=0$$

위식을 $\alpha={1\over 2RC}, w_0={1\over \sqrt {LC}}$을 이용해서 식을 다시으면

$$s^2+2\alpha s+w_0^2=0$$

위의 식은 보조방정식(auxiliary equation)으로 근에 따라 미분방정식의 일반해가 달라집니다.

1. 서로 다른 두실근 ($\alpha> w_0 $) 일 때 overdamped case(과도감쇄)

2. 중근 ($\alpha=w_0 $) 일 때  critically damped case(임계감쇄)

3. 켤레 복소근 ($\alpha <w_0 $) 일 때 underdamped case(저감 쇄)

그래서 각 감쇄별 일반해을 알아보면

overdamped case (과도감쇄)

일반해는

$$v(t)=A_1e^{s_1t}+A_2e^{s_2t}$$

 

critically damped case (임계감쇄)

일반해

$$v(t)=(A_2+tA_1) e^{-\alpha t}$$

underdamped case (저감 쇄)

$s_1=-\alpha+\sqrt {\alpha^2-w_0^2}=-\alpha+jw_d$

$s_2=-\alpha-\sqrt {\alpha^2-w_0^2}=-\alpha-jw_d$

일반해

$$v(t)=e^{-\alpha t}(B_1 cosw_dt+B_2 sinw_dt)$$

 

 

2. 병렬 RLC 회로 문제풀이법

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1.$v(0^+), i(0^+)$과 dv(0)/dt 구하기 (미정계수 구할 때 쓰임)

2. KCL로 미분방정식 만들기

3. 특성방정식의 근을 통해 미분방정식의 일반해 구하기

4. 1번에서 구한 값으로 v(t)의 미정계수 해결하기

 

 

 

예제 풀이

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Practice Problem 8.6

1.$v(0^+), i(0^+)$과 dv(0)/dt 구하기

$$i(0^-)=i(0^+)=4.5A$$

$$v(0^+)=v(0^-)=0V$$

$${dv(0)\over dt}=-{(V_0+RT_0)\over RC}= -{(0V+20\Omega\times4.5 A)\over 20\Omega\times4 mF}=-1125v/s $$

2. KCL로 미분방정식 만들기

$${v\over R}+{1\over L}\int^0_{-\infty} v(\tau) d\tau+C {dv\over dt}=0$$

$${1\over R}{dv\over dt}+{v\over L}+C {d^2v\over dt^2}=0$$

$${d^2v\over dt^2}+{1\over RC}{dv\over dt}+{1\over LC} v=0$$

$i=Ae^{st}$을 대입하면 

$$Ae^{st}(s^2+12.5s+25)=0$$

$$s_1=-6.25+\sqrt {6.25^2-5^2}=-2.5, s_2= -6.25-\sqrt {6.25^2-5^2}=-10 $$

3. 특성방정식의 근을 통해 미분방정식의 일반해 구하기

$$v(t)=A_1e^{s_1t}+A_2e^{s_2t}$$

$$= A_1e^{-2.5t}+A_2e^{-10t} $$

4. 1번에서 구한 값으로 v(t)의 미정계수 해결하기

$$v(0^+)=v(0^-)=0V$$

$$A_1+A_2=0$$

$${dv(0)\over dt}=-1125v/s$$

$${di(0)\over dt}=-2.5A_1e^{-2.5t}-10A_2e^{-10t}$$

$$2.5A_1+10A_2=1125$$

$$A_1=-150, A_2=150$$

그래서 답은

$$v(t)=150(e^{-10t}-e^{-2.5t})V$$

 

오늘은 병렬 RLC 회로에 대해서 정리해 봤습니다. 직렬과 풀이가 거의 비슷하니 그냥 직렬 KVL 병렬 KCL을 사용한다고 생각하고 문제를 풀면 될 것 같습니다. 다음 포스팅은 RLC 회로 심화 예제 풀이를 다루어 보겠습니다. 사실 계단 RLC 회로도 설명해야지만 그건  Homogenous Linear ODE 가 nonHomogenous Linear ODE일 때로 변하기만 해서 그냥 넘기려고 합니다.