[회로 이론] 직렬 RLC 회로 유도와 예제풀이

RLC 회로는 직렬일 때는 KVL을 적용하고, 병렬일 때는 KCL을 적용합니다. 직렬일 때 구한 i(t)는 유도기에 흐르는 전류이고 병렬일 때 구한 v(t)는 축전기에 걸리는 전압입니다. 식을 통해 유도기에 걸리는 전압, 축전기에 흐르는 전류등을 구하면 됩니다.   
 

목차

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1. 직렬 RLC 회로 i(t) 구하기

2. 직렬 RLC 회로 문제풀이법

3. 예제 풀이

1. 직렬 RLC 회로 i(t) 구하기

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위 회로에 KVL 적용하면
$$iR+L {di\over dt}+{1\over C}\int^{t}_{-\infty} i(\tau) d\tau=0\dots1번$$
위 식을 통해 우리는 i의 변화율의 초기값을 알 수 있습니다.
$${di(0)\over dt}=-{1\over L}(RI_0+V_0)$$
1 번식을 i에 대해 미분하면 
$$R {di\over dt}+L {d^2i\over dt^2}+{1\over C} i=0$$
정리하면 Homogeneous Linear ODE가 됩니다. 공업수학 내용이므로 자세하게 설명하지는 않겠습니다.
$${d^2i\over dt^2}+{R\over L}{di\over dt}+{1\over LC} i=0\dots2번$$
 또한 상수로만 이루어진 Homogeneous Linear ODE이므로 해의 기본꼴은 아래와 같이 됩니다.
미분을 몇 번 해보면 이해가능합니다.
$$i=Ae^{st}$$
그래서 2 번식에 $i=Ae^{st}$을 대입하고 정리하면
$$Ae^{st}(s^2+{R\over L} s+{1\over LC})=0$$
$Ae^{st}$은 0이 아니므로
$$s^2+{R\over L} s+{1\over LC}=0$$
$\alpha={R\over 2L}, w_0={1\over \sqrt {LC}}$으로 변환하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다.
$$s^2+2\alpha s+w_0^2=0$$
해:$s_1=-\alpha+\sqrt {\alpha^2-w_0^2}, s_2=-\alpha-\sqrt {\alpha^2-w_0^2}$
$s_1, s_2$는 자연빈도(natural frequencies)라고 하고  회로의 자연응답과 연관성을 가집니다. 
위의 식은 보조방정식(auxiliary equation)으로 근에 따라 미분방정식의 일반해가 달라집니다.
1. 서로 다른 두실근 ($\alpha> w_0 $) 일 때 overdamped case(과도감쇄)
2. 중근 ($\alpha=w_0 $) 일 때  critically damped case(임계감쇄)
3. 켤레 복소근 ($\alpha <w_0 $) 일 때 underdamped case(저감 쇄)

overdamped case ($\alpha> w_0 $)

일반해는
$$i(t)=A_1e^{s_1t}+A_2e^{s_2t}$$
 

critically damped case ($\alpha=w_0 $)

일반해
$$i(t)=(A_2+tA_1) e^{-\alpha t}$$

underdamped case ($\alpha <w_0 $)

$s_1=-\alpha+\sqrt {\alpha^2-w_0^2}=-\alpha+jw_d$
$s_2=-\alpha-\sqrt {\alpha^2-w_0^2}=-\alpha-jw_d$
일반해
$$i(t)=e^{-\alpha t}(B_1 cosw_dt+B_2 sinw_dt)$$
 

2. 직렬 RLC 회로 문제풀이법

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1.$v(0^+), i(0^+)$과 $di(0)/dt$ 구하기 (미정계수 구할 때 쓰임)
2. KVL로 미분방정식 만들기
3. 특성방정식의 근을 통해 미분방정식의 일반해 구하기
4. 1번에서 구한 값으로 i(t)의 미정계수 해결하기

3. 예제 풀이

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Practice Problem 8.4

1.$v(0^+), i(0^+)$과 di(0)/dt 구하기

$$i(0^-)=i(0^+)=10A$$
$$v(0^+)=v(0^-)=0V$$
$${di(0)\over dt}=-{1\over L}(Ri+v)=-1(5\Omega\times10A+0V)=-50A/s$$

2. KVL로 미분방정식 만들기

$$Ri+L {di\over dt}{1\over C}+\int^{t}_{-\infty} i(\tau) d\tau=0$$
$${d^2i\over dt^2}+{R\over L}{di\over dt}+{1\over LC} i=0$$
$${d^2i\over dt^2}+{5\Omega\over 1H}{di\over dt}+{1\over 1H\times1/9F} i=0$$
$i=Ae^{st}$을 대입하면 
$$Ae^{st}(s^2+5s+9)=0$$
$$s^2+5s+9=d$$
${\sqrt {11}\over 2}=1.6583$이므로
$$s_1=-2.5+1.6583j, s_2=-2.5+1.6583j$$

3. 특성방정식의 근을 통해 미분방정식의 일반해 구하기

$$i(t)=e^{-\alpha t}(B_1 cosw_dt+B_2 sinw_dt)$$
$$=e^{-2.5t}(B_1 cos(1.6583t)+B_2 sin(1.6583t))A$$

4. 1번에서 구한 값으로 i(t)의 미정계수 해결하기