계단 응답 RL 회로 심화예제는 Fundamentals of Electric Circuits (6th Edition)의 문제 중에서 뽑아 봤습니다. 연습문제는 판수가 바뀌어도 숫자만 바뀌는 정도로만 바뀌므로 계단 응답 RL 회로 심화예제 풀이에 어려움을 겪는 전자공학과 후배님들에게 도움이 되길 바랍니다.
연습문제 7.56
t>0일 때 v(t) 구하시오.
이 문제를 고름 이유는 전원 변환을 이용하기 때문에 문제를 풀어보았습니다.
t <0을 통해서 i(0)를 구하기
$$i(0)=(2+4) A\times{(7.5\Omega||5\Omega)\over 6\Omega+(7.5\Omega||5\Omega)}$$
$$=2A$$
t>0일때 회로를 이용해서
테브난 저항을 구하기
$R_{th}=6\Omega+(20\Omega||5\Omega)=10\Omega$
시상수 구하기
$\tau={L\over R}={0.5H\over 10\Omega}=0.05s$
t>0일 때
병렬이므로 6옴, 20옴에 걸리는 전압은 같습니다. 그래서 20옴에 걸리는 전압을 구하면
$$v=20V\times{(20\Omega||6\Omega)\over 5\Omega+(6\Omega||20\Omega)}$$
$$=9.6V$$
$i(\infty)={v\over 6\Omega}=1.6A$
구해진 값들을 통해서 전류식 구하기
$i(t)=i(\infty)+[i(0)-i(\infty)]e^{-20t}$
=$1.6+0.4e^{-20t} A$
$v(t)=L {di\over dt}=0.5H\times-8e^{-20t}$
$=-4e^{-20t} V$
답은
t>0일 때 $v(t)= -4e^{-20t} V$
연습문제 7.57
t>0일 때 $i_1(t), i_2(t)$
이 문제를 고른 이유는 유도기가 두 개가 들어간 문제이기 때문입니다. 우리는 선형소자로만 이루어진 회로이므로 선형성의 성질인 가산성을 통해서 $i_1(t), i_2(t)$의 경우를 각각 쪼개서 구하면 됩니다.
t <0을 통해서 $i_1(0), i_2(0)$를 구하기
$$i_1(0)=5A\times{(6\Omega||20\Omega)\over 5\Omega+(6\Omega||20\Omega)}$$
$$=2.4A$$
$$i_2=5A\times{(6\Omega||5\Omega)\over 20\Omega+(6\Omega||5\Omega)}$$
$$=0.6A$$
시상수를 구하면
$$\tau_1={L_1\over R_1}={2.5H\over 5\Omega}=0.5s$$
$$\tau_2={L_2\over R_2}={4H\over 20\Omega}=0.2s$$
답은
$$i_1(t)=i_1(0) e^{-t/\tau_1}=2.4e^{-2t} A$$
$$i_2(t)=i_2(0) e^{-t/\tau_2}=0.6e^{-5t} A$$
연습문제 7.62
식 i(t)을 구하시오.(단 i(0)=0)
이 문제를 고를 이유는 시작시점이 서로 다른 계단함수가 나와서 t <0, 0 <t <1, t>1일 때를 각각 생각해서 생각을 해야하는 문제이기 때문입니다.
t<0, 0<t<1, t>1일때 독립전원만 있고, 저항이 바뀌지 않으므로 같은 테브난 저항을 가집니다.
테브난 저항 구하기
$$\tau={L\over R_{th}}={2H\over 2\Omega}=1s$$
0<t<1 일때 $i(\infty)$
$$i(\infty)=i_2=V/R=1/6A$$
0 <t <1일 때 i(t) 구하기
$$i(t)=i(\infty)+[i(0)-i(\infty)]e^{-t/\tau}$$
$$=1/6(1-e^{-t})A$$
t>1 일 때 i(1)과 $i(\infty)$구하기
i(1)는 0 <t <1 일 때 i(t)를 이용해서 구하기
$i(0)=1/6(1-e^{-1})=0.11A$
i_1과 i_2를 각각 3옴과 6옴에 흐르는 전류입니다.
$i_1=1/3A, i_2=1/6A$이 됩니다.
$i(\infty)=i_1+i_2=1/3+1/6=0.5A$
t>1일 때 i(t) 구하기
$$i(t)=i(\infty)+[i(0)-i(\infty)]e^{-t/\tau}$$
$$=0.5-0.39e^{-(t-1)}A$$
그래서 시간에 따른 i(t)를 구하면
$$i(t)= \begin {cases} 0A,& t <0 \\ 1/6(1-e^{-t})A, &0 <t <1 \\ 0.5-0.39e^{-(t-1)}A,&t>1\end {cases}$$
이번 포스팅은 계단 응답 RL 회로 심화 예제를 풀어보았습니다. 전기회로 시험 전까지 위에 있는 예제를 제대로 이해하고 들어가면 좋은 결과가 있을 것입니다. 다음 포스팅부터는 유도기와 축전기가 한 회로에 있는 RLC 회로에 대해서 다루어 보겠습니다. 사실 이 부분의 괘랄함 때문에 회로이론 포스팅을 시작했었는 데 벌써 이 부분을 포스팅한다니 신이 납니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다.
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