[회로이론] 계단 응답 RC 회로 심화 예제풀이

계단 응답 RC 회로에서 예제를 어렵게 만들기 위해서는 종속 전원이 있는 문제, 계단함수를 어렵게 만들어서 케이스를 나눠서 문제를 풀어야 하는 문제 등을 이용할 수 있습니다.  Fundamentals of Electric Circuits (6th Edition)의 연습문제 중 어려운 문제 3개를 뽑아풀어 보겠습니다.

연습문제 7.39 b

위문제를 뽑은 이유는 t>0일때 회로도를 잘못 생각해서 틀리는 경우가 많을 것 같아서 가져왔습니다.

t <0과 t>0 일 때 축전기 전압식을 구하시오.

12V와 2A으로 

$$v(0)=12V-8V=4V$$

$R_{th}=3\Omega$

그래서 시상수를 구하면

$$\tau=R_{th} C=3\Omega\times2 H=6s$$

$v(\infty)=12V$

$$v(t)=v(\infty)+[v(0)-v(\infty)]e^{-t/\tau}$$

$$=20-16e^{-t/8} V$$

그래서 답은

$$v(t)= \begin {cases} 4V,& t <0 \\ 20-16e^{-t/8},&t>0 \end {cases}$$

 

 

 

연습문제 7.43

종속전원이 있는 회로에서 테브난 전압을 구해야 하는 문제여서 넣었습니다.

t <0과 t>0 일 때 전류 i의 식을 구하시오.

$$-80V+40(0.5i)+80i=0$$

$$i=0.8A$$

병렬로 연결된 저항을 통해서 v(0)을 구하면

$$v(0)=(30\Omega+50\Omega) i=64V$$

종속 전원이 있는 회로이므로 2 단자 부회로에 들어오는 전류와 나가는 전압이 같음을 통해서 테브난 저항을 구해야 합니다.

그래서 축전기를 없애고 임의의 독립전원 $v_o$와 전류 $i_o$를 가정하면 

KVL을 적용하면

$$v_o=80i=80(2i_o)=160i_o$$

테브난 저항을 구하면

$$R_{th}={v_o\over i_o}=160\Omega$$

이를 통해 시상수를 구하면

$$\tau=R_{th} C=160\Omega\times3 H=480s$$

시간에 따른 축전기 전압을 구하면

$$v(t)= \begin {cases} 64V,& t <0 \\ 64e^{-t/480} V,& t>0 \end {cases}$$

병렬연결은 걸리는 전압이 같으므로 

$$i(t)={v(t)\over 30\Omega+50\Omega}$$

그래서 i(t)는

$$i(t)= \begin {cases} 0.8A,& t <0 \\ 0.8e^{-t/480},&t>0 \end {cases}$$

 

 

 

연습문제 7.47

계단함수가 복잡하게 전개되어 시간을 구분해서 3번에 나눠서 구해야 해서 넣었습니다.

t>0 일 때 축전기 전압을 구하시오.(단 v(0)=0)

$$2[(u(t-1)]=  \begin {cases} 0A,& t <1\\ 2A,& t>1\end {cases}$$

$$24 [u(t)-u(t-1)]= \begin {cases} 0A,&t <0 \\ 24A,&0 <t <1\\0A,&t>1 \end {cases}$$

테브난 전압 구하기

$$R_{th}=8\Omega+12\Omega=20\Omega$$

시상수 구하기

$$\tau=20\Omega\times 0.05H=1s$$

0 <t <1일 때

$$v(\infty)=24V$$

이를 통해 0 <t <1일 때 전압을 구해보면

$$v(t)=v(\infty)+[v(0)-v(\infty)]e^{-t/\tau}$$

$$=24(1-e^{-t})V$$

t>1일 때

$$v(1)=24(1-e^{-1})V$$

$$v(\infty)=-2A\times8\Omega=-16V$$

위의 값을 통해 t>0일 때 전압을 구해보면

$$v(t)=v(\infty)+[v(1)-v(\infty)]e^{-(t-1)/\tau}$$

$$=-16V+[24V(1-e^{-1})-(-16V)]e^{-t/\tau}$$

그래서 답

$$v(t)= \begin {cases}  24(1-e^{-t})V,&0 <t <1\\-16+31.17e^{-(t-1)}V,&t>1 \end {cases}$$

 

 

 

오늘은 계단 RC 회로의 심화 예제를 풀어봤습니다.  개인적으로 저의 포스팅을 통해서 회로이론 시험을 준비하는 데 도움이 됐으면 좋겠습니다. 제 최애 과목인 전기회로를  더 열심히, 쉽게 공부할 수 있게 좋은 글을 올리는 가동한이 되겠습니다! 다음 포스팅은 계단응답  RL 회로 심화 예제 풀이입니다