[회로 이론] 계단 응답 RL 회로 정리와 예제 풀이

계단 응답 RL 회로는 이전에 정리한 계단 응답  RC회로에서 C(축전기)에서 L(유도기)로 바뀌었다는 점 정도입니다.  축전기는 "전압"이 급격하게 변하지 않는 반면 유도기는 "전류"가 급격하게 변하지 않는 성질을 가지고  t=$\infty$이면 유도기가 short(단락)된다는 성질을 이용해서 회로를 분석해야 합니다.

목차

1. 기본 RC 회로 공식 유도

2. 예제풀이

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1.기본 RC 회로 공식 유도

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위 회로에서  KVL을 적용하면

$$-V_s+iR+L {di\over dt}=0$$

$${di\over dt}={-iR+V_s\over L}={-R\over L}(i-{V_s\over R})$$

$${di\over i-(V_s/R)}=-{R\over L} dt$$

$$\int_{I_0}^{i(t)}{dx\over x-(V_s/R)}=-{R\over L}\int_0^tdy$$

$$ln(i(t)-(V_s/R))-ln(I_0-(V_s/R))=-{R\over L} t$$

t>0일 때

$$i(t)={V_s\over R}+(I_0-{V_s\over R})e^{-t/\tau}$$

 

위의 그래프처럼 

${V_s\over R}=i(\infty)$이 됩니다. 또한  $I_0$의 값은 결과적으로 ${V_s\over R}$로 수렴하는 모양을 보이게 됩니다.

1/e이 되는 데 걸리는 시간인 시상수$\tau$는 

$$\tau={L\over R}$$

 

유도기의 전류는 

$$i(t)= \begin {cases} i(0), & \mbox {if }\mbox { t<0} \\ i(\infty)+[i(0)-i(\infty)]e^{-t/\tau}, & \mbox{if }\mbox{ t>0} \end {cases}$$

유도기의 전압은 

$$v(t)=L {di\over dt}=V_se^{-t/\tau}$$

 

 

 

2. 예제풀이

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i(t)를 구해서 i(1), i(3)일 때의 값을 찾으시오!

t <0일 때 i(t)=0A

유도기에 전류가 흐르지 않기 때문입니다. 

0 <t <2 일 때 

 

$i(0^-)=i(0^+)=I_0$이므로 $i(0^+)=0A$

병렬일 때 전류 분배 법칙을 적용하면

$i(\infty)=6A\times {15\Omega\over10\Omega+20\Omega+15\Omega}=4A$

독립 전류 전원만 있으므로

$$R_{th}=R_{eq}=15\Omega+10\Omega+20\Omega=45\Omega$$

$$\tau={L\over R}={5H\over 45\Omega}={1\over 9}$$

0 <t <2일 때 $i(t)=4+(0-4) e^{-9t}=4(1-e^{-9t})$

t>2 일 때 회로는

 

$i(2^-)=4A$

독립 전원만 있으므로

$$R_{th}=R_{eq}=10\Omega+15\Omega$$

$$\tau={L\over R_{th}}={5H\over 25\Omega}=0.2s$$

$$i(\infty)=6A\times {15\Omega\over10\Omega+15\Omega}=3.6A$$

t>2 일 때 $i(t)=3.6A+(4-3.6) e^{-5t}=3.6+0.4e^{-5(t-2)}A$

 (t-2)입니다. 왜냐하면 t=2부터 시작이므로 반드시 실수하지 않길 바랍니다.

그래서 i(t)는 

$$i(t)= \begin {cases} 0A, &  \mbox { t <0} \\ 4-4e^{-9t}, &\mbox { 0 <t <2}\\ 3.6+0.4e^{-5t} A, &\mbox { t>2}  \end {cases}$$

답은

$$i(1)=2-2e^{-9} A=1.9997, i(3)=3.6+0.4e^{-5}=3.6027$$

 

 

 

 

오늘은 계단 응답 RL 회로를 유도해 보고, 예제를 풀어 봤습니다. 다음 포스팅에서는  RC 회로와 계단 응답 RC 회로의 심화 예제 풀이를 포스팅해 보겠습니다.