[회로 이론] 계단 응답 RC 회로 정리와 예제 풀이

계단응답 RC 회로는 이전에 정리한  RC회로와의 차이점은 계단함수가 적용된  회로라는 것입니다. 즉 t=0에서 스위치가 닫히고,  회로에 있는 독립 전원이 들어오는 회로입니다. 순서는 축전의 성질을 이용해서 캐패시터에 부하되는 전압을 유도한 후, 미분해서 전압을 유도하는 방법 말고 더 쉬운 방법을 정리해 보겠습니다.

목차

1. 계단 응답 RC 회로의 기본꼴과 공식유도

2. 다른 풀이방법

3. 예제

 

1. RC 회로의 기본 공식유도

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축전기의 전압은 갑작스럽게 변하지 않는다는 성질을 이용하면 t=0 부근에서는 같은 값을 가진다고 할 수 있습니다. 수식적으로 쓰면

$$v(0^-)=v(0^+)=V_0$$

입니다. 그래서 이를 이용해서 $t=0^+$일 때 전압 v(t)을 구하여 일반화하면 됩니다.

KVL을 적용하면

$$C {dv\over dt}+{v-V_s\over R}=0$$

$${dv\over dt}=-{v-V_s\over RC}$$

$${dv\over v-V_s}=-{dt\over RC} $$

정적분을 적용하면

$$ln(v-V_s)\mid_{V_o}^{v(t)}=-{t\over RC}\mid_0^t$$

$$ln(v(t)-V_s)-ln(V_0-V_s)={-t\over RC}$$

$$ln {v-V_s\over V_o-V_s}=-{t\over RC}$$

$$v(t)=V_s+(V_0-V_s) e^{-t/\tau}$$

$$v-V_s=(V_o-V_s) e^{-t/\tau}$$

그래서 v(t)는

$$v(t)= \begin {cases} V_0, & \mbox {if }\mbox { t <0} \\ V_s+(V_0-V_s) e^{-t/\tau}, & \mbox {if }\mbox { t>0} \end {cases}$$

$t=\infty$이면, 자연응답으로 인한 응답이 사라져 부하된 응답만 남기 때문에 $v_s=v(\infty)$이라고 합니다.

그래서 아래처럼 구할 수도 있습니다.

$$v(t)= \begin {cases} V(0), & \mbox {if }\mbox { t <0} \\ V(\infty)+(V(0)-V(\infty))e^{-t/\tau}, & \mbox {if }\mbox { t>0} \end {cases}$$

전압과 전류의 그래프를 그려보면

전류는 $i(t)=C {dv\over dt}$ 으로 구할 수 있습니다. t <0 일 때 i=0입니다.

 

 

2. 다른 풀이방법

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위 회로에서 전류와 전압의 그래프는 아래와 같습니다.

그래서 구할 때 2가지 방법으로 나누어 구할 수 있습니다.(선형회로여서 가산성을 가지므로) 또한 공식을 암기할수 있습니다.

전체응답=자연응답(축전기에 저장된 에너지)+부하된 응답(독립전원)

즉 

$$v=v_n+v_f$$

$$v_n=V_0e^{-t/\tau}$$

자연응답은 아래와 같은 그래프로 감소하게 됩니다.

$$v_f=V_s(1-e^{-t/\tau})$$

부하된 응답은 아래와 같은 그래프로 증가하게 됩니다.

 

전체 응답=과도 응답(일시적 부분)+일정한 응답(영구적 부분)

$v=v_t+v_s$

$v_t=(V_o-V_s) e^{-t/\tau}$

$v_s=V_s$

으로 구할 수 있습니다. 하지만 위 과정은 잘 쓰이지 않습니다.

 

3. 예제

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i(t)와 v(t)를 구하시오

1. t <0 일 때 v, i 구하기

v=20V, i는 open(단락)이므로 i=0A

2. t >0 일 때 시상수 v, i 구하기

$R_{th}=5\Omega\||10\Omega=10/3\Omega$

시상수 구하기

$\tau=R_{th} C={10\over 3}\Omega\times0.2 F={2\over 3} s$

$V(\infty)=10V$ $5\Omega$와 $10\Omega$가 병렬이므로 $5\Omega$와 $10\Omega$에 걸리는 전압과 같습니다.

KCL을 통해 i를 구하면(나가는 것을 +로 생각하면)

$-i(t)-C {dv\over dt}+-3A+1A=0$

$v(t)= \begin {cases} 20V, & \mbox {if }\mbox { t <0} \\ 10+10e^{-1.5t} V, & \mbox {if }\mbox { t>0} \end {cases}$

 

$i(t)= \begin {cases} 0A, & \mbox {if }\mbox { t <0} \\-2-2e^{-1.5t} A, & \mbox {if }\mbox { t>0} \end {cases}$

 

계단 응답 RC 회로는 KCL을 사용해서 미적분을 이용해서 풀 수도 있지만 응답을 따져서 각각 구한 후에 더하는 방식으로 풀어보는 방식에 대해서도 배워 보았습니다. 다음 포스팅은 계단응답 RL 회로를 정리해 보겠습니다.