[회로이론] RC회로 정리와 예제 풀이

 

오늘은 저항(R)과 캐패시터(C)로 구성된 RC 회로를 정리해 보겠습니다. RC 회로는  일차미분 방정식을 만듭니다. 기초적인 미분 방정식을 알아야 합니다. 그래서 회로를 키르히호프법칙을 통해서 일차미분방정식을 유도하는 방법을 다룬 후에,  RC회로를 푸는 방법과 예제를 풀어보면서 적용해 보는 연습을 끝으로 포스팅을 마무리하겠습니다. 

목차

1. RC 회로의 기본꼴과 공식유도

2. 기본적인 RC 회로의 풀이 방법

3. 예제

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1. RC 회로의 기본꼴과 공식유도

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위 회로에 KCL을 적용하면

$$i_C+i_R=0$$

캐페시터와 옴의 법칙을 활용하면 아래처럼 정리가 됩니다.

$$C {dv\over dt}+{v\over R}=0\dots1$$

아래를 공업수학에서 배우는 homogeneous linear ODE( ordinary differential equation) 중에 계수가 모두 이므로 

$${dv\over dt}+av=0, V(0)=V_0$$

위와 같은 미분방정식은 아래와 같은 해를 구할 수 있습니다.

$$v(t)=V_0e^{-t/a}$$

그래서 위의 1 번식에 적용하면 전압의 식을 구할 수 있습니다.

$${dv\over dt}+{v\over RC}=0$$

$$v(t)=V_0e^{-t/RC}$$

위식에서 

$$\tau =RC$$

는 시상수로 초기값에서 1/e이 되었을 때 걸리는 시간을 의미합니다.

캐패시터의 전류는 옴의 법칙을 통해서 구하면 됩니다.

캐패시터의 전압의 특징

캐패시터 전압의 그래프는 초반에는 전압이 비슷합니다.

$$ v_c(0^-)=v_c(0^+)=v(0)=V_0 $$

그리고 그래프가 0으로 수렴하기 때문에 위의 사진처럼 옴의 법칙을 적용하면 어느 정도 시간이 지났을 때 회로에서는 캐페시터의 위치에서  open(개방) 된 상태를 보이게 됩니다.

 

 

 

2. 기본적인 RC 회로의 풀이 방법

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1. 축전기 부분을 회로가 끊어진 것으로 생각해서 V_x을 구합니다.(축전기는 전류는 즉각적으로 변하지만 전압은 즉각적으로 변하지 않기 때문에 ) 이 과정은 경우에 따라 없기도 합니다.
$$ v_c(0^-)=v_c(0^+)=v(0)=V_0 $$
2. 테브난 저항$R_{th}$을 구합니다.
3. 시상수 공식을 이용해서 시상수를 구합니다.
4. 1,3번에서 얻은 값들로 전압을 구합니다.
5. 옴의 법칙으로 전류를 구합니다.

 

 

3. 예제

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$v_C(0)=60V$ 구해야 하는 것: $v_C, v_x, i_o$  

위의 문제는 $v_C(0)$을 구하는 1번 과정이 생략되어 있습니다.

2번 테브난 저항을 구하기

$R_{th}=(12\Omega||6\Omega)+8\Omega=12\Omega$

3번 시상수 구하기

$\tau=R_{th} C=12\Omega\times \frac {1}{3} F=4s$

4번:1,3번에서 얻은 값들로 전압을 구하기

$v_C(t)=V_C(0) e^{-t/RC}=60e^{-t/4} V$

전압분배법칙과 등가저항을 통해서 $v_x$를 구하면

$v_x(t)=v_c\times\frac {4}{12}=20e^{-t/4} V$

$8\Omega$을 지나가는 전류는 노드 1 전압은 $v_x$이고, 노드 2 전압은 $v_c$이므로 노드정리로 $i_o$을 구하면

$i_o=\frac {v_x-v_c}{8}=-5e^{-t/4}$

답은 $v_C(t)=60e^{-t/4}, v_x(t)=20e^{-t/4}, i_o=-5e^{-t/4}$

 

오늘은 일차미분방정식을 통해서 전압을 구하는 RC회로에 대해서 배웠습니다. 다음에는 저항(R)과 유도기(L)로 구성된 RL 회로에 대해서 포스팅해 보겠습니다. 

 

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