[회로이론] 축전기(Capacitor) 정리와 예제 풀이

축전기는 전기장의 형태로 전기에너지를 저장하는 소자입니다. 그래서 라디오 전파 변환 시나 컴퓨터에서 동적메모리 할당에 쓰이는 소자입니다. 축전기와 대응되는 소자는 유도기입니다. 유도기는 자기장의 형태로 자기장에너지를 저장하는 소자입니다. 그래서 이다음 포스팅으로 유도기에 대해서 정리해 보겠습니다.

목차

1. 축전기 성질과 역할

2. 축전기와 관련된 공식

3. 직렬/병렬 축전기

4. 예제

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1. 축전기 성질과 역할

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축전기:전기장의 형태로 전기에너지를 저장하는 소자입니다.

구조:절연체(또는 유전체)로 분리된 두 개의 전도판으로 구성됩니다.

 

축전기의 역할:

1. 직류전압을 가하면 각 전극에 전기(전하)를 축적(저장)하는 역할을 합니다.
2. 교류에서 직류를 차단하고 교유성분을 통과시키는 역할을 합니다.

 

축전기의  중요한 속성:

1. 축전기를 지나가는 전압이 시간에 따라 달라지지 않으면(직류이면) 유도기로 들어가는 전류는 0이다.
2. 축전기에 걸리는 전압은 지속적이어야 합니다.(축전기의 전압은 갑작스럽게 변하지 않는 다.)
3. 이상적인 축전기는 에너지를 낭비하지 않습니다. 축전기는 축전기에 에너지를 저장할 때 회로의 전력을 가져가고, 회로에 전력을 공급할 때 이전에 저장된 에너지를 반환합니다.
4. 실제 비이상적인 축전기는 병렬형의 누설 저항을 가집니다. 누설저항은 100M 옴만큼 높을 수 있으며 대부분의 실제 응용분야에서 무시할 수 있습니다.

위 속성 중에서 2번째 속성은 RC 나 RLC에서 활용되는 중요한 속성이므로 암기하기 바랍니다.

 

 

 

2. 축전기와 관련된 공식

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축전기 공식

$$q=Cv$$

이때 C는 비례상수로 축전기의 전기용량입니다. 전기 용량에 대해 알아보면

전기용량(capacitance) :

패럿(F) 단위로 측정된 두 플레이트 사이의 전압 차이에 에 대한 측정기의 한 플레이트에 걸리는 전압의 비율입니다.

 

전기용량은 플레이트 면적(A)에 비례하고, 플레이트 사이 거리(d)에 반비례합니다. 그래서 전기용량은 

$$C={\epsilon A\over d}$$

 

축전기에 걸리는 전류와 전압 구하기

$i={dq \over dt}$이므로 축전기 공식을 미분하면 전류를 구할 수 있습니다.

 

$$i=C {dv\over dt}$$

 

위의 전류 공식을 아래와 같이 변환 후 적분을 하면 전압을 구할 수 있습니다.

$$dv={i(dt)\over C}$$

$$v(t)={1\over C }\int_{t_0}^{t} i(\tau) d\tau +v(t_0)$$

 

축전기의 전력과 일 구하기

전력의 공식은 $p=vi$이므로 i에 위에서 구한 축전지에 걸리는 전류인 $i=C {dv\over dt}$ 을 넣으면 전력을 구할 수 있습니다.

$p=v(C {dv\over dt})$

전력을 적분하면 일이므로 구해보면

$$w={1\over2} Cv^2$$

$$w={q^2\over2 C}$$

 

 

 

3. 직렬/병렬 축전기

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직렬일 때 

$$\frac {1}{C_{eq}}=\frac {1}{C_1}+\frac {1}{C_2}+\frac {1}{C_3}+\dots+\frac {1}{C_N}$$

병렬일 때

$$C_{eq}=C_1+C_2+C_3+\dots+C_N$$

 

 

 

4. 예제

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1. q 구하기

축전기 직렬연결 > 저항의 병렬연결 그리고 축전기 병렬연결 > 저항의 직렬연결로 바꾸어서 계산하면

$C_{eq}=\{(60\mu F||30\mu F)+20\mu F\}||40\mu F=20\mu F$

축전기 공식을 써서 q를 구하면

$q=C_{eq} V=20\times10^{-6} F\times90 V=1.8mC$

 

2. 전압 구하기

$v_1={q\over {C_1}}={1.8mC\over40\mu F}=45V$

 

$60\mu F$와 $30\mu F$ 직렬연결의 등가전기용량은 $20\mu F$이므로 $v_2=v_3+v_4=45V$

 

그래서 v_3, v_4를 축전기 공식으로 v와 C는 반비례함을 이용해서 구해보면

$v_3={C_4 \over {C_3+C_4}}\times {v_2}=15V$

 

$v_4={C_3 \over {C_3+C_4}}\times {v_2}=30V$

 

답은 $v_1=45V, v_2=45V, v_3=15V, v_3=30V$입니다.

 

 

오늘은 전기에너지를 전기장으로 저장하는 소자인 축전기에 대해서 배워 보았습니다. 다음 시간에는 자기 에너지를 자지장으로 저장하는 소자인 유도기에 대해서 상세하게 정리해 보겠습니다. 그리고 이후에 포스팅할 RL, RC, RLC회로에서 공식들을 자유자재로 써서 문제를 풀어야 하기 때문에 반드시 암기를 해야 합니다.