[회로이론] RL 회로 정리와 예제 풀이

RL 회로는 일반적인 저항과 전원만 있는 회로와 다른 점이 있습니다. i(t) 즉 전류가 0으로 수렴하는 형태를 띠고 있다는 점입니다. 이로 인해 t>0에서 단락(short) 되어 보인다는 점이 있습니다. 또한 인덕터는 t=0 부근에서 전류가 유지가 되어 전류는 t <0일 때 전류를 구하면 됩니다.

 

목차

1. RL회로의 기본꼴과 공식 유도

2. 기본적인 RL 회로의 풀이방법

3. 예제

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1. RL회로의 기본꼴과 공식 유도

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위 회로에서 KVL을 적용하면

$$v_L+v_R=0$$

인덕터에서의 전압과 저항에서 옴의 법칙을 사용하면 전류를 변수로 한 미분방정식을 풀 수 있습니다.

$$L {di\over dt}+Ri=0$$

공업수학에서 배우는 homogeneous linear ODE(ordinary differential equation)이므로 풀면

$$i(t)=I_0e^{-Rt/L}$$

그리고 1/e이 됐을 때 걸리는 시간을 시상수라고 하는 데, 위식의 시상수는

$$\tau={L\over R}$$

그래서  아래 인덕터에서 전류의 그래프는 0으로 수렴하는 모양을 띄게 됩니다. 결론적으로 

그래서 어느 정도 시간이 지나면 인덕터는 short(단락) 된 회로가 됩니다.

 

 

 

 

 

2. 기본적인 RL 회로의 풀이방법

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1. i($0^+$) 일 때 전류 구합니다. 인덕터는 아래의 식처럼 t=0 부근에서 같다는 특징을 가지기 때문에, t <0 일 때 전류를 통해서 i($0^+$)를 구할 수 있습니다.
$$ i_L(0^-)=i_L(0^+)=i(0)=I_0 $$
2. 테브난 저항(Rth)을 구합니다.
3. 시상수 공식을 이용해서 시상수를 구합니다.
4. 1,3으로 전류를 구합니다.
5. 옴의 법칙으로 전압 구합니다.

 

 

 

 

3. 예제

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t>0일 때 i(t) 구하기

1. $t=0^+$일 때 인덕터에 걸리는 전류를 구하기

t <0 일 때 인덕터는 short 되어 있는 상태입니다. 그래서  $5\Omega$ 으로 전류가 지나가지 않습니다. 그리고 8$\Omega$를 왼쪽으로 옮겼습니다.

$15A\times\frac {6\Omega}{6\Omega+12\Omega}$

$6\Omega$인이유는 $8\Omega||24\Omega=6\Omega$이기 때문입니다.

2. 테브난 저항 구하기

$R_{th}=(12\Omega+8\Omega)||5\Omega=4\Omega$

3. 시상수 구하기

$\tau={L\over R}=2/4=0.5s$

4.1,3으로 전류 구하기

$i(t)=I_0e^{-t/\tau}=5e^{-2t} A(t>0)$

 

오늘은 인덕터와 저항으로 이루어진 RL 회로에 대해서 배웠습니다. 반드시 기억해둬야 하는 것은 인덕터의 전류는 바로 바뀌지 않는 점 $i_L(0^-)=i_L(0^+)=i(0)=I_0$ 그리고 t>0에서는 인덕터는 i(t)가 0으로 수렴하기 때문에 short(단락) 된다는 점은 꼭 기억해 두셔야 합니다. 다음에는 RL과 RC에 특이함수를 적용하는 경우에 대해서 알아보겠습니다.