[회로이론] RLC 회로에서 초기값과 나중값 심화 예제 풀기

RLC회로에서 초기값과 나중값은 RL과 RC회로를 이해하는데 가장 주요한 값들이었습니다. 그래서 RLC 회로에서 전류와 전압이 어떻게 되는지 알아보기 전에 초기값과 나중값을 구한 후 그 결과를 통해서 어떻게 전류와 전압이 변하는지 알아보고, t=무한대 가 될 때 값을 구하는 예제를 풀어보겠습니다.

 

Practice Problem 8.1 

(a)$i(0^+), v(0^+)$ 

(b)$di(0^+)/dt, dv(0^+)/dt$

(c)$i(\infty), v(\infty) $ 을 구하시오.

a를 구하기 

t <0일 때를 생각하면

유도기는  t=0 부근에서 전류값이 같으므로

$i(0^-)=i(0^+)={42V\over 12\Omega}=3.5A$

축전기는 t=0 부근에서 전압값이 같으므로.

$v(0^-)=v(0^+)=2i=7V$

 

b를 구하기

$di(0^+)/dt, dv(0^+)/dt$을 구하기 위해서는 

$$v_L=L {di_L(0^+)\over dt}\to {di_L(0^+)\over dt}={v_L\over L}\dots 1번$$

$$i_C=C {dv_C(0^+)\over dt} \to {dv_C(0^+)\over dt}={i_C\over C}\dots 2번$$

그래서 $v_L, i_C$을 구해야 b를 알 수 있습니다.

KVL을 적용하면

$$-v(0^-)-v_L+42V=0$$

$$v_L=35V$$

그래서 1번 식에 대입하면

$${di_L(0^+)\over dt}={v_L\over L}={35V\over 0.4H}=87.5A/s$$

i_C는 t>0 일 때 항상 0이므로

$${dv_C(0^+)\over dt}=0$$

 

C를 구하기

$t=\infty$일 때 유도기는 short 되고 축전기는 open 되므로

$$i(\infty)={42V\over 2\Omega}=21A$$ 

$$v(\infty)=42V$$

Practice Problem 8.2

(a)$i_L(0^+), v_C(0^+), v_R(0^+)$

(b)$di_L(0^+)/dt, dv_C(0^+)/dt, dv_R(0^+)/dt$

(c)$i_L(\infty), v_C(\infty), v_R(\infty)$

 

a를 구하기

t <0일 때를 생각하면

$ i_L(0^+)=6A, v_C(0^+)=0V, v_R(0^+)=0V$

즉 저항과 축전기에는 전류가 흐르지 않고, 전압이 걸리지 않음을 알 수 있습니다.

 

b를 구하기

$$v_L=L {di_L(0^+)\over dt}\to {di_L(0^+)\over dt}={v_L\over L}\dots 1번$$

$$i_C=C {dv_C(0^+)\over dt} \to {dv_C(0^+)\over dt}={i_C\over C}\dots 2번$$

그래서 $v_L, i_C$을 구해야 b를 알 수 있습니다.

저항과 유도기 사이에 있는 노드에 KCL을 적용하면

$$-4+i_C(0^+)+i_R(0^+)=0$$

$$i_C(0^+)=4A$$

이것을 2번 식에 적용하면

$$ {dv_C(0^+)\over dt}={i_C\over C}={4A\over 1/5F}=20V/s$$

전류는 유도기로만 흐를 것이므로 저항과 축전기에 전류가 흐르지 않고, 전압도 없게 됩니다.

$${dv_R(0^+)\over dt}={i_C\over C}=0A/s$$

$${di_L(0^+)\over dt}={v_L\over L}=0V/s$$

$t=\infty$일 때 유도기는 short 되고 축전기는 open 되므로

$$i_R(\infty)=4A$$

$$v_L(\infty)=-6A+4A=-2A$$

$$v_C(\infty)=v_R(\infty)=4A\times5\Omega=20V$$

연습문제 8.3

(a)$i_L(0^+), v_C(0^+), v_R(0^+)$

(b)$di_L(0^+)/dt, dv_C(0^+)/dt, dv_R(0^+)/dt$

(c)$i_L(\infty), v_C(\infty), v_R(\infty)$

 

a를 구하기

t <0일 때를 생각하면

10V가 축전기에만 걸리므로

$ i_L(0^+)=0A, v_C(0^+)=-10V, v_R(0^+)=0V$

 

b를 구하기

노드 알파를 기준노드로 하고 노드 베타에 대해서 KCL을 적용하면 

$${v_R(0^+)\over 10\Omega}+ {1\over 4} {dv_C(0^+)\over dt}+i_L(0^+)=2A$$

$${dv_C(0^+)\over dt}=8V/s$$

병렬연결이므로 축전기와 저항 $10\Omega$에 걸리는 전압이 같습니다.

$${dv_R(0^+)\over dt}=8V/s$$

메시 1에 KVL을 적용하면

$$-v_C(0^+)+40i_L(0^+)+{1\over 8}{di_L(0^+)\over dt}-10V=0$$

계산하면

$${di_L(0^+)\over dt}=0A/s$$

 

c를 구하기

$40\Omega$에 흐르는 전류는 

$$i_L(\infty)=2A\times {10\Omega\over 40\Omega+10\Omega}=0.4A$$

$10\Omega$에 흐르는 전류는 1.6A가 됩니다.

그래서 전압을 구하면 $v_C=1.6A\times 10\Omega=16V$가 됩니다.

메시 1로 KCL을 적용하면

$-10V-v_C(\infty)+40i(\infty)=0$

$v_R(\infty)=6V$

 

오늘은 RLC 회로의 초기값과 나중값을 파악하는 시간을 가졌습니다. 사실 축전기의 성질 t=0 부근에서 전압이 갔다 와

축전기의 성질 t=0 부근에서 전압이 같다는 성질을 알고 있으면 초기값을 구할 수 있고 나중값은 유도기는 short 되고 축전기는 open 된다는 사실을 이해하고 있고 또한 RL, RC.RLC 회로는 선형 회로이기 때문에 중첩원리를 이용할 수 있다는 사실을 기억하면서 위문제들을 풀면 아주 쉽게 풀 수 있을 것입니다. 다음 시간에는 직렬과 병렬일 때의 RLC를 정리하겠습니다.